+R授業対象科目。第2回に+R授業を実施。詳細はmanaba+Rを参照。

イントロダクション

簡単な例題をもとに、力学で扱われる系の運動には、規則的なものとそうではないもの（カオス的なもの）があるように見えることを紹介する。ノイズが加えられていないのに複雑に見える運動があることの不思議について述べる。
【キーワード】規則的、不規則的、決定論

ハミルトン系とその運動方程式の解

ハミルトン系の運動方程式について復習する。1自由度の運動方程式は必ず解けることを解説する。
【キーワード】ハミルトニアン、等エネルギー曲線、正準方程式、正準変数

微分方程式とベクトル場

微分方程式を、状態を指定する空間（「相空間」）の中の流れを規定するものとしてとらえなおす。また、相空間の中で重要な役割を果たす「不動点」「不変多様体」（安定多様体、不安定多様体）について解説する。不動点とその安定性について述べる。
【キーワード】正準座標、正準運動量、正準変換、不動点、安定多様体、不安定多様体、リウヴィユの定理

「解ける」ハミルトン系

運動方程式を具体的に解くことができる系（可積分系）を紹介し、その性質を理解する。
【キーワード】求積法、可積分系、保存量、作用変数、角変数

カオスの発生

カオスがどのようにして発生するのかを摂動論的なアプローチから理解する。
【キーワード】摂動論、安定多様体、不安定多様体、ホモクリニック点、ホモクリニック交差

カオスを特徴づける特性量

リヤプノフ数、ポアンカレ写像など、カオスを特徴づける特性量と手法について解説する。
【キーワード】リヤプノフ数、リヤプノフスペクトル、リヤプノフベクトル、Fast Lyapunov Indicator、KSエントロピー、ポアンカレ写像、パワースペクトル、エルゴード性、混合性、ポアンカレの再帰定理、KAM定理

ハミルトン系の運動方程式の数値積分とその背景

ハミルトン系の運動方程式を数値積分する際に用いられる方法「シンプレクティック積分法(symplectic integrator)」について紹介し、それがなぜ有効であるのかを解説する。
【キーワード】シンプレクティック積分法、symplectic integrator、正準変換

遅い緩和

相空間の階層性とべき型の緩和、アーノルド拡散、Nekhoroshev不等式、Boltzmann-Jeans則など、遅い緩和について解説する。
【キーワード】ポアンカレ=バーコフの定理、アーノルド拡散、Nekhoroshev不等式、Boltzmann-Jeans則

カオスと化学反応、カオスと天体力学、三体問題と探査機の軌道設計

カオスおよび力学系の理論の応用として、化学反応と天体力学について述べる。相空間内での輸送を相空間の構造と不変集合に基づいて理解することを解説する。また、三体問題とは何かを述べ、太陽系内の探査機の軌道設計とのかかわりを概説する。
【キーワード】化学反応論、RRKM理論、三体問題、円平面制限三体問題、ラグランジュ点、安定多様体、不安定多様体

離散力学系の相空間

相空間構造を理解するための離散力学系について解説する。
【キーワード】アーノルドの猫写像

拘束系および擬似拘束系における熱平衡状態と準平衡状態

一般化されたエネルギー等分配則により生じる運動エネルギーの自発的不均一性とBoltzmann-Jeans的な遅い緩和について解説する。
【キーワード】エネルギー等分配則、一般化されたエネルギー等分配則、ホロノミックな拘束を持つ系、Boltzmann-Jeans則

受講生の到達目標(1),(2),(3)に関連したレポート課題をいくつか実施して受講者の理解度を確認します。