Course Name Year Term Period Faculty / Graduate School All Instructors Credits
33726:Advanced Mathematical Analysis 1 (T1) 2024 Spring Wed3 College　of　Science　and　Engineering NAGISA MASARU 2

Campus

BKC

Class Venue

Forest109

Language

日本語

Course Outline and Method

ヒルベルト空間とその上の有界線形作用素を対象と、関数解析学I,IIで学習した概念を復習し、特徴ある作用素や、C*-環について講義をする。

ヒルベルト空間（無限次元内積空間）上の線形代数学と考えて作用素（無限行列）、作用素のなす環について説明していきます。有限次元であれば、線形代数学で良く知っているので、線形代数学と同様に議論できないところ、または、少し工夫すれば同じ感じというところについて解説を行います。

他の講義でも現れるような内容は、補助の文書で解説するようにして、無限次元の作用素について知識を広げていきます。関数解析学の話題に属するので、もちろん、バナッハ空間や局所コンパクト空間なども扱いますが、ヒルベルト空間上の作用素に話を絞って、講義をし、一般論のところは、補助のプリントで補う予定です。

講義は対面授業で行う。

Student Attainment Objectives

C*-環というと抽象的な議論のように感じられるかもしれません。量子力学などの数学的な記述には、線形代数つまり行列がよく用いられますが、理論的な枠組みとして C*-環が現れます。したがって、行列の話を含んでいるとも言えますし、場合によっては行列の計算も見通しが良くなるという点もあります。また、最近では量子計算機、量子情報理論と無限次元の線形代数学ともいえるC*-環の出番は増えてきています。
この講義では、
　　エルミート作用素の関数計算
　　スペクトル分解定理
など道具としての計算を扱います。これらが、わかりやすい対象、つまり線形代数学ではどういう言葉になっているのかということに注意して、しっかり味わっていただくことが大事だと思います。線形代数では、すでによく知っていることに相当するという認識を持っていただければ、身近な内容と感じられると思います。

Recommended Preparatory Course

集合と位相I, II,　関数解析I, II

Course Schedule

Lecture/Instructor（When there are multiple instructors) Theme
Keyword, References and Supplementary Information
1～2

作用素とスペクトル

有界線形作用素
スペクトル
有限次元と無限次元の扱いの注意点

3～4

エルミート作用素

正値作用素
エルミート作用素、正規作用素
作用素の多項式
作用素の連続関数計算

5〜6

正値作用素

射影作用素
部分等距離作用素
極分解
作用素の単調収束

7〜11

スペクトル定理と作用素の関数計算

掛け算作用素、ボレル関数計算、スペクトル測度、正則関数計算、Fuglede-Putnamの定理、C*-環での関数計算
ボレル関数計算は測度論の議論が必要なため正確な議論とならないが、状況を理解することに主眼点を置く

12〜15

コンパクト作用素

ヒルベルト空間上のコンパクト作用素の諸性質
Fredholm の交代定理

Class Format

対面講義で行います。
講義の概略のファイルや、補助解説の文書を用意する予定です。

Recommendations for Private Study

関数解析学の話題は抽象的な話題が多く、よりよく理解するためには、集合論、位相空間論、解析学の多くの知識が必要になる。この講義では、内積を持つ線形空間とその上の線形写像については、すでに線形代数学として多くの知識を持っていることになるので、線形空間が無限次元になると（線形代数からはみ出ると）どういうことが変わってきて、どういうことは大体同じように考えられるのか、ということについて講義をする。これをすべて証明を付けて話をしていくと膨大な時間がかかるので、講義の補助として、実際の証明の仕方を与えるが、講義としては話の流れを重視してすすめることにする。したがって、補助の解説などで、話を見失わないように努めてください。メールや zoom を用いた質問も可能ですので、どんどん質問して流れを見失わないようにしてください。

Grade Evaluation Method

Kind Percentage Grading Criteria etc.
Final Examination (Written) 0

Report Examination
(A report to be submitted by the unified deadline)		 0

Exams and/or Reports other than those stated above, and Continuous Assessment　
(Evaluation of Everyday Performance in Class)		 100

レポート4回を考えています。評価にレポートの内容および出席を考慮します。

Grade Evaluation Method （Note）

5，6，7，8月のレポートとして、講義の進捗に合わせた課題を出します。
レポートの内容、出席回数を考慮して成績をつけます。
レポートは画像ファイルとしてメールで提出することも可能です。
教育実習・就活で欠席する場合は届け出ること.

Advice to Students on Study and Research Methods

わからないことを貯めないよう、臆せず質問をしてください。質問や回答には、メールや zoom なども使用することも考えています。

Textbooks

Textbooks （Frequency of Use, Note）

特になし

Reference Books

Title Author Publisher ISBN Code Comment
A Short Course on Spectral Theory W. Arveson Springer
Banach Algebra Tehchniques in Operator Theory R. Douglas Springer

Reference Books （Frequency of Use, Note）

Web Pages for Reference

How to Communicate with the Instructor In and Out of Class(Including Instructor Contact Information)

Talk with Students

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URL:https://secure.ritsumei.ac.jp/students/pathways-future/course/curriculum.html/