授業科目名 年度 学期 開講曜日・時限 学部・研究科 全担当教員 単位数
32580:[2025 春セメスター]幾何学Ⅰ(T1) 2025 春セメスター 火2 理工学部 野澤 啓、福本 善洋 2

キャンパス

BKC

授業施設

コラーニングⅠ　１０７号教室

授業で利用する言語

日本語

授業の概要と方法

ビーチボールや浮き輪は曲面としてとらえることができる．他にどのような曲面があるのだろうか．本講義では，主に平面上の領域や曲面を対象として，ホモロジー群をはじめとした代数的位相幾何の考え方について学ぶ．まず平面上の微分形式の線積分や，回転数とその応用について学び，ド・ラム コホモロジー群への導入とする．一方で，基本群と並んでポアンカレによって導入されたホモロジー群について学び，回転数などをこの枠組みで理解し，不動点定理などへの応用をみる．後半ではベクトル場について学ぶ．まずは平面上のベクトル場とその指数の考え方を理解し，これをもとに曲面上のベクトル場を扱い，曲面のトポロジーを表すオイラー標数との関係について学んでいくことで，解析とトポロジーとの繋がりをみていく．

受講生の到達目標

曲面のトポロジーに関する諸概念，および諸性質を理解すること.
単体複体およびホモロジー群の基本的性質を理解し, 具体的な例について計算および応用できるようになること.

事前に履修しておくことが望まれる科目

数学Ⅲ,Ⅳ（線形代数）,幾何学序論Ⅰ,Ⅱ,集合と位相Ⅰ,Ⅱ，解析学序論Ⅰ,Ⅱ(多変数微積分）を履修しておくことが望ましい．また, 代数学序論Ⅱで扱われる有限生成アーベル群を用いる.

授業スケジュール

授業回数/
担当教員（複数担当の場合） 		テーマ
キーワード・文献・補足事項等
野澤

+R授業対象科目。第4回，第6回に分けて+R授業を実施。詳細はmanaba+Rを参照。

1〜2 野澤

微分形式と線積分

領域，微分形式，線積分，完全形式

3～4 野澤

回転数と写像度

角関数，回転数，写像度，局所写像度

5〜9 野澤

ド・ラームコホモロジー

ド・ラームコホモロジー群，ジョルダンの曲線定理，領域の不変性

10〜12 福本

特異ホモロジー群

輪体，境界輪体，特異ホモロジー群，回転数，ブラウアーの不動点定理

13～14 福本

ベクトル場

指数，オイラー標数，ポアンカレ・ホップの定理

授業実施形態

基本的に対面で行うが，事前に周知した上でZoomでの配信による講義を行うことがありうる．

授業外学習の指示

具体例に多く触れ，慣れ親しみながら，講義で扱う抽象的な概念になじめるようにしましょう.

成績評価方法

種別 割合(%) 評価基準等
定期試験（筆記） 70

定期試験により講義内容の理解度を評価する
レポート試験
（統一締切日を締切とするレポート）		 0

上記以外の試験・レポート、平常点評価
（日常的な授業における取組状況の評価）		 30

レポート等による講義内容に対する理解度の評価

成績評価方法(備考)

受講および研究に関するアドバイス

微分形式，ホモロジー群およびコホモロジー群は抽象的な概念です．具体的な例に触れ，直観を持てるようにしましょう．いろいろな空間を作って，そのホモロジー群やコホモロジー群などを調べてみるのもよいでしょう．

教科書

教科書(使用頻度、その他補足)

配布資料による.

参考書

書名 著者 出版社 ISBNコード 備考
代数位相幾何学入門　上 W.フルトン 丸善出版 978-4621065624
位相幾何学 (数学シリーズ) 加藤十吉 裳華房 978-4785314040
代数的トポロジー 枡田幹也 朝倉書店 978-4254115956
トポロジーと幾何学入門 I.M.シンガー，J.A.ソープ 培風館 978-4563001506
トポロジー 加藤十吉 サイエンス社 978-4781901336
Lecture Notes in Algebraic Topology (Graduate Studies in Mathematics Volume: 35; 2001) James F. Davis, Paul Kirk American Mathematical Society 978-0821821602
微分形式と代数トポロジー R.ボット，L.W.トゥー シュプリンガー・フェアラーク東京 978-4431707073

参考書(使用頻度、その他補足)

参考になるwwwページ

授業内外における学生・教員間のコミュニケーションの方法

manaba+R,学生との直接対話

備考

質問等は
yfukumot(at)fc.ritsumei.ac.jp
hnozawa(at)fc.ritsumei.ac.jp
まで連絡ください．
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URL:https://secure.ritsumei.ac.jp/students/pathways-future/course/curriculum.html/