Course Name Year Term Period Faculty / Graduate School All Instructors Credits
32580:[2025 Spring]Geometry Ⅰ (T1) 2025 Spring Tue2 College　of　Science　and　Engineering NOZAWA HIRAKU、FUKUMOTO YOSHIHIRO 2

Campus

BKC

Class Venue

Co-learning107

Language

日本語

Course Outline and Method

ビーチボールや浮き輪は曲面としてとらえることができる．他にどのような曲面があるのだろうか．本講義では，主に平面上の領域や曲面を対象として，ホモロジー群をはじめとした代数的位相幾何の考え方について学ぶ．まず平面上の微分形式の線積分や，回転数とその応用について学び，ド・ラム コホモロジー群への導入とする．一方で，基本群と並んでポアンカレによって導入されたホモロジー群について学び，回転数などをこの枠組みで理解し，不動点定理などへの応用をみる．後半ではベクトル場について学ぶ．まずは平面上のベクトル場とその指数の考え方を理解し，これをもとに曲面上のベクトル場を扱い，曲面のトポロジーを表すオイラー標数との関係について学んでいくことで，解析とトポロジーとの繋がりをみていく．

Student Attainment Objectives

曲面のトポロジーに関する諸概念，および諸性質を理解すること.
単体複体およびホモロジー群の基本的性質を理解し, 具体的な例について計算および応用できるようになること.

Recommended Preparatory Course

数学Ⅲ,Ⅳ（線形代数）,幾何学序論Ⅰ,Ⅱ,集合と位相Ⅰ,Ⅱ，解析学序論Ⅰ,Ⅱ(多変数微積分）を履修しておくことが望ましい．また, 代数学序論Ⅱで扱われる有限生成アーベル群を用いる.

Course Schedule

Lecture/Instructor（When there are multiple instructors) Theme
Keyword, References and Supplementary Information
野澤

+R授業対象科目。第4回，第6回に分けて+R授業を実施。詳細はmanaba+Rを参照。

1〜2 野澤

微分形式と線積分

領域，微分形式，線積分，完全形式

3～4 野澤

回転数と写像度

角関数，回転数，写像度，局所写像度

5〜9 野澤

ド・ラームコホモロジー

ド・ラームコホモロジー群，ジョルダンの曲線定理，領域の不変性

10〜12 福本

特異ホモロジー群

輪体，境界輪体，特異ホモロジー群，回転数，ブラウアーの不動点定理

13～14 福本

ベクトル場

指数，オイラー標数，ポアンカレ・ホップの定理

Class Format

基本的に対面で行うが，事前に周知した上でZoomでの配信による講義を行うことがありうる．

Recommendations for Private Study

具体例に多く触れ，慣れ親しみながら，講義で扱う抽象的な概念になじめるようにしましょう.

Grade Evaluation Method

Kind Percentage Grading Criteria etc.
Final Examination (Written) 70

定期試験により講義内容の理解度を評価する
Report Examination
(A report to be submitted by the unified deadline)		 0

Exams and/or Reports other than those stated above, and Continuous Assessment　
(Evaluation of Everyday Performance in Class)		 30

レポート等による講義内容に対する理解度の評価

Grade Evaluation Method （Note）

Advice to Students on Study and Research Methods

微分形式，ホモロジー群およびコホモロジー群は抽象的な概念です．具体的な例に触れ，直観を持てるようにしましょう．いろいろな空間を作って，そのホモロジー群やコホモロジー群などを調べてみるのもよいでしょう．

Textbooks

Textbooks （Frequency of Use, Note）

配布資料による.

Reference Books

Title Author Publisher ISBN Code Comment
代数位相幾何学入門　上 W.フルトン 丸善出版 978-4621065624
位相幾何学 (数学シリーズ) 加藤十吉 裳華房 978-4785314040
代数的トポロジー 枡田幹也 朝倉書店 978-4254115956
トポロジーと幾何学入門 I.M.シンガー，J.A.ソープ 培風館 978-4563001506
トポロジー 加藤十吉 サイエンス社 978-4781901336
Lecture Notes in Algebraic Topology (Graduate Studies in Mathematics Volume: 35; 2001) James F. Davis, Paul Kirk American Mathematical Society 978-0821821602
微分形式と代数トポロジー R.ボット，L.W.トゥー シュプリンガー・フェアラーク東京 978-4431707073

Reference Books （Frequency of Use, Note）

Web Pages for Reference

How to Communicate with the Instructor In and Out of Class(Including Instructor Contact Information)

Learning Management System （manaba+R）,Talk with Students

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yfukumot(at)fc.ritsumei.ac.jp
hnozawa(at)fc.ritsumei.ac.jp
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