Course Name Year Term Period Faculty / Graduate School All Instructors Credits
32602:[2025 Fall]Advanced Mathematical Analysis 2 (T1) 2025 Fall Mon2 College　of　Science　and　Engineering ISOZAKI HIROSHI 2

Campus

BKC

Class Venue

Co-learning105

Language

日本語

Course Outline and Method

フーリエ解析は数学のみならず自然科学の多くの分野において重要な役割を果たしている。
この講義ではフーリエ解析の基礎を学ぶとともに数学の諸問題に応用されていく様子を知る。
主な内容は（１）フーリエ級数の収束問題（２）ヒルベルト空間における完全正規直交系（３）フーリエ積分の反転公式（４）超関数とフーリエ解析である。さらに数輪、関数解析、偏微分方程式論などから歴史的に重要な例をとりあげながら解析学の多角的理解を目指す。

Student Attainment Objectives

任意関数を三角関数で展開することにより関数の性質を三角関数の性質を通じて理解できるようになる。これは三角関数のみならず抽象的な作用素の固有関数に対しても可能である。この講義は抽象調和解析の入門というべきものであり、それは現代の数学の根本をなしている。

Recommended Preparatory Course

複素解析学、積分論、微分方程式論

Course Schedule

Lecture/Instructor（When there are multiple instructors) Theme
Keyword, References and Supplementary Information
-

+R授業対象科目。第9回に+R授業を実施。詳細はmanaba+Rを参照。

1

フーリエ級数とヒルべルト空間

ヒルベルト空間の基本的定義と例をあげる。

2

ヒルベルト空間における正規直交系

ヒルベルト空間の基底、パーセバルの等式、完全性。

3

フェーイェール核

フーリエ級数は関数空間の設定によっては収束しない。そのため発散する級数も扱えるチェザロの総和法を学ぶ。

4

デルタ関数の近似列

与えられた関数を適当な積分変換によって近似する。最も重要なステップである。

5

三角関数系の完全性

三角関数系が二乗可積分関数空間の正規直交基底となっていることを示す。

6

円周上のソボレフ空間

円周上の関数に対する一般化された微分。

７

単位円板上のディリクレ問題

三角級数展開による偏微分方程式の解法の例を学ぶ。

８

フーリエの反転公式

フーリエ変換とその逆変換によって任意関数が展開されることを学ぶ。

9

熱方程式

熱方程式をフーリエ変換を用いて解く。

10

急減少関数

シュワルツによる急減少関数の空間を導入する。

11

二乗可積分関数のフーリエ変換

フーリエ変換を２乗可積分関数空間上のユニタリー作用素に拡張する。

12

緩増加超関数のフーリエ変換

フーリエ変換を緩増加超関数の空間に拡張する。

13

波動方程式

波動方程式をフーリエ変換によって解く。

14

ラドン変換

ラドン変換を導入しその応用を学ぶ。

Class Format

対面で実施

Recommendations for Private Study

フーリエ解析は一般論よりも具体的な例について計算を行うことが重要である．特に講義で取り上げる熱方程式，波動方程式、ラプラス方程式、シュレディンガー方程式は解析学の基礎となっているものであり，この計算に習熟することは学部段階での最も重要な目標であるといってよい．講義では計算の細部を与えることができないこともあり，講義の前後の自学自習をぜひ行ってもらいたい．

Grade Evaluation Method

Kind Percentage Grading Criteria etc.
Final Examination (Written) 0

Report Examination
(A report to be submitted by the unified deadline)		 0

Exams and/or Reports other than those stated above, and Continuous Assessment　
(Evaluation of Everyday Performance in Class)		 100

レポート、演習、小テスト等によって総合的に評価する。

Grade Evaluation Method （Note）

Advice to Students on Study and Research Methods

学生の自主的な学習を重視する。
講義中は勿論、その他の時間も積極的に質問すること。

Textbooks

Textbooks （Frequency of Use, Note）

講義中に適宜紹介する。

Reference Books

Title Author Publisher ISBN Code Comment
数理物理学における微分方程式 磯崎　洋 日本評論社 4-535-78275-X
フーリエ解析入門 スタイン・シャカルチ 日本評論社 978-4-535-60891-7

Reference Books （Frequency of Use, Note）

講義中に適宜紹介する。

Web Pages for Reference

How to Communicate with the Instructor In and Out of Class(Including Instructor Contact Information)

Learning Management System （manaba+R）,Talk with Students

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URL:https://secure.ritsumei.ac.jp/students/pathways-future/course/curriculum.html/