授業科目名 年度 学期 開講曜日・時限 学部・研究科 全担当教員 単位数
32601:[2025 春セメスター]解析学続論Ⅰ(T1) 2025 春セメスター 水3 理工学部 水口 洋康 2

キャンパス

BKC

授業施設

フォレストハウス１０９号教室

授業で利用する言語

日本語

授業の概要と方法

内積空間・ヒルベルト空間とノルム空間・バナッハ空間の振り返りからスタートし、有限次元だろうと無数に存在するノルムについて、各ノルム・各空間の幾何学的構造を考えていきます。

内積空間・ヒルベルト空間における 2-ノルムの他に、1-ノルムや∞-ノルムについて学習したことが有るでしょう。それらは2次元や3次元の際に単位球面が完全な丸か四角であり幾何学的な構造としては極端な例と言えます。他にも様々な場合が有ることを知ってもらおうと思います。ノルム・空間の幾何学的構造を表現する指標として幾何学的定数も存在しています。

また内積空間・ヒルベルト空間では内積を用いて2つの元の直交が定義されますが、ノルム空間・バナッハ空間ではどのように直交概念が導入されるのかと言う点もお伝えします。ノルム空間・バナッハ空間での直交と各ノルム・各空間の幾何学的構造が関連しています。

講義は対面授業で行います。

受講生の到達目標

内積空間・ヒルベルト空間で成り立つ等式・不等式や、ノルム空間・バナッハ空間で一般的に成り立つ等式・不等式について理解してもらいます。
等式や不等式を含んで定義されている幾何学的構造の定義も理解してください。
それらを基に幾何学的定数が定義され空間の幾何学的構造を表現していることが理解できるでしょう。
ノルム空間・バナッハ空間における直交概念も定義と由来や性質について学習します。

事前に履修しておくことが望まれる科目

集合と位相I, II,　関数解析I, II

授業スケジュール

授業回数/
担当教員（複数担当の場合） 		テーマ
キーワード・文献・補足事項等
-

+R授業対象科目。第7回に+R授業を実施。詳細はmanaba+Rを参照。

1～3

ノルム空間と三角不等式

内積
ノルム
様々な空間
三角不等式

4～7

幾何学的構造

中線定理
strict convexity と uniform convexity
smoothness と uniform smoothness
uniformly non squareness
幾何学的構造を基に成り立つ事柄

8～10

幾何学的定数

James constant
von Neumann - Jordan constant
Dunkl - Williams constant
定義と由来する不等式
一定条件下での計算方法

11〜14

一般化された直交

Birkhoff orthogonality
Isosceles orthogonality
Pythagorean orthogonality
直交と幾何学的性質
直交間の差異
Radon plane

授業実施形態

対面講義で行います。

授業外学習の指示

関数解析学の話題は抽象的な話題が多く、よりよく理解するためには、集合論、位相空間論、解析学の多くの知識が必要になります。これまでの講義でもノルムは様々に存在する事といくつかの具体例を学習していると思いますが、より多くのノルムを考えていくので単位球面の状態とノルムの定義式を対応付けて考えられると良いでしょう。
関数解析学の中にそのような分野も存在すると紹介していく形になりますので、その全てについて詳細な性質や証明まで取り扱うことはできませんが、ある事実から何かを定義しその性質を研究して行くと言う流れを感じ取ってください。
膨大な数式が登場する等ではない代わりに初めて知る概念が有ると思います。どう言った事柄を定義・研究しているのか思いを巡らせてください。

成績評価方法

種別 割合(%) 評価基準等
定期試験（筆記） 0

レポート試験
（統一締切日を締切とするレポート）		 0

上記以外の試験・レポート、平常点評価
（日常的な授業における取組状況の評価）		 100

レポート4回を考えています。評価にレポートの内容および出席を考慮します。

成績評価方法(備考)

4, 5, 6, 7月のレポートとして、講義の進捗に合わせた課題を出します。
レポートの内容、出席回数を考慮して成績をつけます。
レポートは PDF 等のファイルとして manaba +R で提出することも可能です。
体調不良・教育実習・就職活動での欠席は manaba +R で連絡してください。

受講および研究に関するアドバイス

分からないことを貯めないよう、臆せず質問をしてください。質問や回答には、メールや manaba +R を利用した質問にも答えていきます。

教科書

教科書(使用頻度、その他補足)

特になし

参考書

書名 著者 出版社 ISBNコード 備考
An Introduction to Banach Space Theory Robert E. Megginson Springer 0-387-98431-3
Geometry of Banach Spaces: selected topics Joseph Diestel Springer 0-387-07402-3
Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations Charles Chidume Springer 978-1-84882-189-7
非線形関数解析学 : 不動点定理とその周辺 高橋　渉 近代科学社 4-7649-1008-X
Minkowski geometry A.C. Thompson Cambridge University Press 0-5214-0472-X
Characterizations of Inner Product Spaces Dan Amir Springer 978-3-0348-5489-4

参考書(使用頻度、その他補足)

参考になるwwwページ

授業内外における学生・教員間のコミュニケーションの方法

学生との直接対話

備考

扱う内容の全てを書かれた書籍は見付けられていません。参考書の上から4つには幾何学的構造に関する記載が有ります。
5つ目には直交に関するいくらかの記載が有ります。6つ目は中線定理や直交について書かれた書籍なのですが RUNNERS に見当たりません。
【科目ナンバリング・カリキュラムマップはこちらから/Click here to see the Curriculum-Map and Course-Numbering】
URL:https://secure.ritsumei.ac.jp/students/pathways-future/course/curriculum.html/