Course Name Year Term Period Faculty / Graduate School All Instructors Credits
32601:[2025 Spring]Advanced Mathematical Analysis 1 (T1) 2025 Spring Wed3 College　of　Science　and　Engineering MIZUGUCHI HIROYASU 2

Campus

BKC

Class Venue

Forest109

Language

日本語

Course Outline and Method

内積空間・ヒルベルト空間とノルム空間・バナッハ空間の振り返りからスタートし、有限次元だろうと無数に存在するノルムについて、各ノルム・各空間の幾何学的構造を考えていきます。

内積空間・ヒルベルト空間における 2-ノルムの他に、1-ノルムや∞-ノルムについて学習したことが有るでしょう。それらは2次元や3次元の際に単位球面が完全な丸か四角であり幾何学的な構造としては極端な例と言えます。他にも様々な場合が有ることを知ってもらおうと思います。ノルム・空間の幾何学的構造を表現する指標として幾何学的定数も存在しています。

また内積空間・ヒルベルト空間では内積を用いて2つの元の直交が定義されますが、ノルム空間・バナッハ空間ではどのように直交概念が導入されるのかと言う点もお伝えします。ノルム空間・バナッハ空間での直交と各ノルム・各空間の幾何学的構造が関連しています。

講義は対面授業で行います。

Student Attainment Objectives

内積空間・ヒルベルト空間で成り立つ等式・不等式や、ノルム空間・バナッハ空間で一般的に成り立つ等式・不等式について理解してもらいます。
等式や不等式を含んで定義されている幾何学的構造の定義も理解してください。
それらを基に幾何学的定数が定義され空間の幾何学的構造を表現していることが理解できるでしょう。
ノルム空間・バナッハ空間における直交概念も定義と由来や性質について学習します。

Recommended Preparatory Course

集合と位相I, II,　関数解析I, II

Course Schedule

Lecture/Instructor（When there are multiple instructors) Theme
Keyword, References and Supplementary Information
-

+R授業対象科目。第7回に+R授業を実施。詳細はmanaba+Rを参照。

1～3

ノルム空間と三角不等式

内積
ノルム
様々な空間
三角不等式

4～7

幾何学的構造

中線定理
strict convexity と uniform convexity
smoothness と uniform smoothness
uniformly non squareness
幾何学的構造を基に成り立つ事柄

8～10

幾何学的定数

James constant
von Neumann - Jordan constant
Dunkl - Williams constant
定義と由来する不等式
一定条件下での計算方法

11〜14

一般化された直交

Birkhoff orthogonality
Isosceles orthogonality
Pythagorean orthogonality
直交と幾何学的性質
直交間の差異
Radon plane

Class Format

対面講義で行います。

Recommendations for Private Study

関数解析学の話題は抽象的な話題が多く、よりよく理解するためには、集合論、位相空間論、解析学の多くの知識が必要になります。これまでの講義でもノルムは様々に存在する事といくつかの具体例を学習していると思いますが、より多くのノルムを考えていくので単位球面の状態とノルムの定義式を対応付けて考えられると良いでしょう。
関数解析学の中にそのような分野も存在すると紹介していく形になりますので、その全てについて詳細な性質や証明まで取り扱うことはできませんが、ある事実から何かを定義しその性質を研究して行くと言う流れを感じ取ってください。
膨大な数式が登場する等ではない代わりに初めて知る概念が有ると思います。どう言った事柄を定義・研究しているのか思いを巡らせてください。

Grade Evaluation Method

Kind Percentage Grading Criteria etc.
Final Examination (Written) 0

Report Examination
(A report to be submitted by the unified deadline)		 0

Exams and/or Reports other than those stated above, and Continuous Assessment　
(Evaluation of Everyday Performance in Class)		 100

レポート4回を考えています。評価にレポートの内容および出席を考慮します。

Grade Evaluation Method （Note）

4, 5, 6, 7月のレポートとして、講義の進捗に合わせた課題を出します。
レポートの内容、出席回数を考慮して成績をつけます。
レポートは PDF 等のファイルとして manaba +R で提出することも可能です。
体調不良・教育実習・就職活動での欠席は manaba +R で連絡してください。

Advice to Students on Study and Research Methods

分からないことを貯めないよう、臆せず質問をしてください。質問や回答には、メールや manaba +R を利用した質問にも答えていきます。

Textbooks

Textbooks （Frequency of Use, Note）

特になし

Reference Books

Title Author Publisher ISBN Code Comment
An Introduction to Banach Space Theory Robert E. Megginson Springer 0-387-98431-3
Geometry of Banach Spaces: selected topics Joseph Diestel Springer 0-387-07402-3
Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations Charles Chidume Springer 978-1-84882-189-7
非線形関数解析学 : 不動点定理とその周辺 高橋　渉 近代科学社 4-7649-1008-X
Minkowski geometry A.C. Thompson Cambridge University Press 0-5214-0472-X
Characterizations of Inner Product Spaces Dan Amir Springer 978-3-0348-5489-4

Reference Books （Frequency of Use, Note）

Web Pages for Reference

How to Communicate with the Instructor In and Out of Class(Including Instructor Contact Information)

Talk with Students

Other Comments

扱う内容の全てを書かれた書籍は見付けられていません。参考書の上から4つには幾何学的構造に関する記載が有ります。
5つ目には直交に関するいくらかの記載が有ります。6つ目は中線定理や直交について書かれた書籍なのですが RUNNERS に見当たりません。
【科目ナンバリング・カリキュラムマップはこちらから/Click here to see the Curriculum-Map and Course-Numbering】
URL:https://secure.ritsumei.ac.jp/students/pathways-future/course/curriculum.html/