授業科目名 年度 学期 開講曜日・時限 学部・研究科 全担当教員 単位数
31436:数学Ⅳ（線形代数）(A5) § 31437:数学Ⅳ(W5) § 31438:数学Ⅳ(Y5) 2023 秋セメスター 木4 理工学部 村田 学 2

キャンパス

BKC

授業施設

フォレストハウス２０４号教室

授業で利用する言語

日本語

授業の概要と方法

【概要】一次式で表現される量的関係を線形関係という。線形諸関係についての諸法則を整理したものが本科目の主題の線形代数学である。春学期の「数学Ⅲ」では線形関係の簡潔な表現法である行列について講義したが、本科目では一次式を表に出さずに線形関係を抽象的に調べるための方法としてベクトル空間と線形写像の基礎事項を講義する。さらに行列の対角化を取り扱うが、これは線形変換の構造を明らかにするもので理論的にも応用的にも重要なテーマである。

学生諸君にとっては比較的馴染みの少ない概念が多く、理論が抽象的であったり、あるいは理論の展開の仕方に慣れない点があるかもしれない。しかし、線形代数学は微積分学とともに理工系の諸専門分野の不可欠な基盤をなすので、この科目内容を完全に修得するために費やす労力は、高回生での専門科目での勉学が劇的に効率的になることにより報われるであろう。

【方法】全１５回の授業を「対面授業」で実施します。
但し１５回中７回以下の範囲で、web配信による授業も行います。web配信には、（Zoomを使用した）ライブ配信型と（録画された授業内容を視聴する）オンデマンド型の２種類があります。授業をweb配信で実施する場合は、事前に、manaba+Rの「コースニュース」にてお知らせします。
教室利用時の質疑応答の機会に加えて、manaba+R上に疑問解決のための「掲示板」を用意します。投稿された質問などにできるだけ速やかに回答し、自主学習を手助けします。
対面授業回で遠隔授業の配慮が必要な受講生には、Zoomを使用したライブ配信等で授業を受講してもらう予定です。

受講生の到達目標

以下の事項を抽象的に理解できること。および、これらの事項を、数ベクトル空間の部分空間については春学期に「数学Ⅲ」で学んだ行列の諸事項と関連づけられること。

(1) 基礎概念: 線形空間・部分空間・一次独立性・一次従属性。

(2) 線形空間の基底・次元: 基底による座標の導入、基底変換と座標変換の関係。数ベクトル空間の部分空間の基底を具体的に求められること。

(3) 線形写像: 線形写像の表現行列、基底変換が表現行列に与える影響。階数・核・像、次元定理。

(4) 固有値問題: 線形変換の固有多項式・固有値・固有ベクトル。表現行列が対角行列にできることと固有ベクトルから成る基底が存在することは同じであること。対角化可能性の判定条件。正方行列の対角化の手順。

(5) 内積空間: 内積・正定値性・シュワルツの不等式・正規直交基底・シュミットの直交化法・直交行列・直交変換。直交行列による対称行列の対角化。二次形式への応用。

事前に履修しておくことが望まれる科目

◯本科目では，春学期の「数学Ⅲ」で学ぶ内容を前提としている。

◯本科目の演習を行う「数学演習Ⅱ」の受講を強く推奨する。「数学演習Ⅱ」の授業は、本科目と「数学Ⅱ」の受講を前提として行われるので、秋学期は本科目と「数学Ⅱ」・「数学演習Ⅱ」を同時に受講することが望ましい。

授業スケジュール

授業回数/
担当教員（複数担当の場合） 		テーマ
キーワード・文献・補足事項等
第1回

ベクトル空間(その1)

【キーワード】ベクトル空間の定義，部分空間
【授業実施形態】ライブ配信授業

第2回

ベクトル空間(その2)

【キーワード】１次独立，１次従属
【授業実施形態】対面授業

第3回

ベクトル空間(その3)

【キーワード】１次独立な最大個数
【授業実施形態】対面授業

第4回

ベクトル空間(その4)

【キーワード】基，次元
【授業実施形態】web配信授業

第5回

ベクトル空間(その5)

【キーワード】基本解，解空間の次元
【授業実施形態】対面授業

第6回

線形写像(その1)

【キーワード】線形写像の定義，線形写像の階数
【授業実施形態】web配信授業

第7回

線形写像(その2)

【キーワード】線形写像の表現行列
【授業実施形態】対面授業

第8回

線形写像(その3)

【キーワード】線形変換
【授業実施形態】web配信授業

第9回

線形写像(その4)

【 キーワード】固有値，固有ベクトル
【授業実施形態】対面授業

第10回

線形写像(その5)

【キーワード】行列の対角化
【授業実施形態】web配信授業

第11回

内積空間(その1)

【キーワード】内積の定義, シュワルツの不等式
【授業実施形態】対面授業

第12回

内積空間(その2)

【キーワード】正規直交基，シュミットの直交化
【授業実施形態】web配信授業

第13回

内積空間(その3)

【キーワード】直交行列による行列の三角化
【授業実施形態】対面授業

第14回

内積空間(その4)

【キーワード】直交行列による対称行列の対角化
【授業実施形態】web配信授業

第15回

応用と展望

【キーワード】二次形式の対角化、二次曲面の分類、関数空間
【授業実施形態】対面授業

授業実施形態

BCP停止の場合は、BCPレベル0～2の記載どおりに授業が行われます。
During the suspension period of BCP, classes will be as described in BCP levels 0-2.

【BCPレベル1～2の場合 / In the case of BCP level 1-2】
・第1回〜15回を原則「対面授業」にて実施する。ただし、感染状況や受講生の事情等を考慮して、「メディアを利用した授業(Zoomによるライブ配信型 or オンデマンド型)」をする場合がある。

【BCPレベル3～4の場合 / In the case of BCP level 3-4】
・第1回〜15回を「メディアを利用した授業(Zoomによるライブ配信型 or オンデマンド型)」にて実施する。

授業外学習の指示

毎回の授業内容の復習を心がけてください。授業ごとに、授業内容を復習するための「問題」をmanaba+Rにて提示します。授業後各自でこれに取り組み、学習内容を確実なものにしてください。
復習項目としては、
授業内で説明された定義や記号の確認、
定理や公式などの使い方、
授業内の“具体例”を参考にした計算方法の習得、
があります。とくに、“具体例”は扱っている内容に直接触れる良い機会なので、「問題」に取り組む前にしっかりと学び取ってください。
分からないところは教員に積極的に質問して、理解を深めて下さい。また、数学学修相談会や図書館など大学の制度を活用して下さい。

成績評価方法

種別 割合(%) 評価基準等
定期試験（筆記） 40

講義の内容から試験を実施する。所定の事由で受験できない学生に対しては、別途担当教員より課されるレポート等の課題により評価を行う。また定期試験自体が実施できない場合においても、別途担当教員より課されるレポート等の課題により評価を行う。
レポート試験
（統一締切日を締切とするレポート）

上記以外の試験・レポート、平常点評価
（日常的な授業における取組状況の評価）		 60

日常的な授業における取り組み状況を評価する。状況が許せば、講義内容についての授業内テスト等を実施して評価に反映させる場合がある。

成績評価方法(備考)

受講および研究に関するアドバイス

毎回の授業がどんな話だったのかを「あらすじ」で整理することをおすすめします。
何を話題に（または問題に）しているのか？
それを扱うための言葉（定義、記号）や道具（定理、公式）は何か？
具体的にはどのように計算処理されるのか？あるいはどんな計算が必要になるのか？
どのような結果が得られるのか？
などを思い描いてください。その過程で何か不透明な個所があれば、もう一度教材やノートを見直してください。この、大雑把な見通しと細かな視点を行き来する、反復思考は、時間もかかるところですが、内容理解にとってとても大切です。復習の習慣にしてみてください。

教科書

書名 著者 出版社 ISBNコード 備考
『入門線形代数 』 三宅敏恒 培風館 4-563-00216-X

教科書(使用頻度、その他補足)

参考書

参考書(使用頻度、その他補足)

参考になるwwwページ

授業内外における学生・教員間のコミュニケーションの方法

インタラクティブシート,manaba+R,学生との直接対話

備考

【科目ナンバリング・カリキュラムマップはこちらから/Click here to see the Curriculum-Map and Course-Numbering】
URL:https://secure.ritsumei.ac.jp/students/pathways-future/course/curriculum.html/