授業科目名 年度 学期 開講曜日・時限 学部・研究科 全担当教員 単位数
33328:数学Ⅳ（線形代数）(9A) § 33329:数学Ⅳ(9X) § 33330:数学Ⅳ(GA) 2024 秋セメスター 水2 理工学部 安部 哲哉 2

キャンパス

BKC

授業施設

フォレストハウス２０５号教室

授業で利用する言語

日本語

授業の概要と方法

一次式で表現される量的関係を線形関係という。線形諸関係についての諸法則を整理したものが本科目の主題の線形代数学である。春学期の「数学Ⅲ」では線形関係の簡潔な表現法である行列について講義したが、本科目では一次式を表に出さずに線形関係を抽象的に調べるための方法としてベクトル空間と線形写像の基礎事項を講義する。さらに行列の対角化を取り扱うが、これは線形変換の構造を明らかにするもので理論的にも応用的にも重要なテーマである。

学生諸君にとっては比較的馴染みの少ない概念が多く、理論が抽象的であったり、あるいは理論の展開の仕方に慣れない点があるかもしれない。しかし、線形代数学は微積分学とともに理工系の諸専門分野の不可欠な基盤をなすので、この科目内容を完全に修得するために費やす労力は、高回生での専門科目での勉学が劇的に効率的になることにより報われるであろう。

受講生の到達目標

以下の事項を抽象的に理解できること。および、これらの事項を、数ベクトル空間の部分空間については春学期に「数学Ⅲ」で学んだ行列の諸事項と関連づけられること。

(1) 基礎概念: 線形空間・部分空間・一次独立性・一次従属性。

(2) 線形空間の基底・次元: 基底による座標の導入、基底変換と座標変換の関係。数ベクトル空間の部分空間の基底を具体的に求められること。

(3) 線形写像: 線形写像の表現行列、基底変換が表現行列に与える影響。階数・核・像、次元定理。

(4) 固有値問題: 線形変換の固有多項式・固有値・固有ベクトル。表現行列が対角行列にできることと固有ベクトルから成る基底が存在することは同じであること。対角化可能性の判定条件。正方行列の対角化の手順。

(5) 内積空間: 内積・正定値性・シュワルツの不等式・正規直交基底・シュミットの直交化法・直交行列・直交変換。直交行列による対称行列の対角化。二次形式への応用。

事前に履修しておくことが望まれる科目

◯本科目では，春学期の「数学Ⅲ」で学ぶ内容を前提としている。

◯本科目の演習を行う「数学演習Ⅱ」の受講を強く推奨する。「数学演習Ⅱ」の授業は、本科目と「数学Ⅱ」の受講を前提として行われるので、秋学期は本科目と「数学Ⅱ」・「数学演習Ⅱ」を同時に受講することが望ましい。

授業スケジュール

授業回数/
担当教員（複数担当の場合） 		テーマ
キーワード・文献・補足事項等
第1回

ベクトル空間(その1)

【キーワード】ベクトル空間の定義，部分空間

第2回

ベクトル空間(その2)

【キーワード】１次独立，１次従属

第3回

ベクトル空間(その3)

【キーワード】１次独立な最大個数

第4回

ベクトル空間(その4)

【キーワード】基，次元

第5回

ベクトル空間(その5)

【キーワード】基本解，解空間の次元

第6回

線形写像(その1)

【キーワード】線形写像の定義，線形写像の階数

第7回

線形写像(その2)

【キーワード】線形写像の表現行列

第8回

線形写像(その3)

【キーワード】線形変換

第9回

線形写像(その4)

【 キーワード】固有値，固有ベクトル

第10回

線形写像(その5)

【キーワード】行列の対角化

第11回

内積空間(その1)

【キーワード】内積の定義, シュワルツの不等式

第12回

内積空間(その2)

【キーワード】正規直交基，シュミットの直交化

第13回

内積空間(その3)

【キーワード】直交行列による行列の三角化

第14回

内積空間(その4)

【キーワード】直交行列による対称行列の対角化

第15回

応用と展望

【キーワード】二次形式の対角化、二次曲面の分類、関数空間

授業実施形態

対面授業を15回実施する。録画や配信は行わない。

授業外学習の指示

毎回の授業がどんな話だったのかを「あらすじ」で整理することをおすすめします。
何を話題に（または問題に）しているのか？
それを扱うための言葉（定義、記号）や道具（定理、公式）は何か？
具体的にはどのように計算処理されるのか？あるいはどんな計算が必要になるのか？
どのような結果が得られるのか？
などを思い描いてください。その過程で何か不透明な個所があれば、もう一度教材やノートを見直してください。この、大雑把な見通しと細かな視点を行き来する、反復思考は、時間もかかるところですが、内容理解にとってとても大切です。復習の習慣にしてみてください。

成績評価方法

種別 割合(%) 評価基準等
定期試験（筆記） 80

講義の内容から試験を実施する。
レポート試験
（統一締切日を締切とするレポート）		 0

上記以外の試験・レポート、平常点評価
（日常的な授業における取組状況の評価）		 20

日常的な授業における取り組み状況を評価する。

成績評価方法(備考)

受講および研究に関するアドバイス

この講義は板書スタイルの講義であり「ノートを取ること」を前提としています。ノートを取ってください。ノートを取るとは、ipadに書くことも含めます。

何事においても、能動的に取り組んでいくことが大事です。分からない所は担当者に質問したり、数学学修相談会を利用したりして、解決していくようにして下さい。

教科書

書名 著者 出版社 ISBNコード 備考
『入門線形代数 』 三宅敏恒 培風館 4-563-00216-X

教科書(使用頻度、その他補足)

参考書

参考書(使用頻度、その他補足)

参考になるwwwページ

授業内外における学生・教員間のコミュニケーションの方法

manaba+R

備考

【科目ナンバリング・カリキュラムマップはこちらから/Click here to see the Curriculum-Map and Course-Numbering】
URL:https://secure.ritsumei.ac.jp/students/pathways-future/course/curriculum.html/