授業科目名 年度 学期 開講曜日・時限 学部・研究科 全担当教員 単位数
33325:数学Ⅳ（線形代数）(5T) § 33326:数学Ⅳ(5X) § 33327:数学Ⅳ(5Y) 2024 秋セメスター 月1 理工学部 林 芳樹 2

キャンパス

BKC

授業施設

フォレストハウス２０４号教室

授業で利用する言語

日本語

授業の概要と方法

一次式で表現される量的関係を線形関係という。線形諸関係についての諸法則を整理したものが本科目の主題の線形代数学である。春学期の「数学Ⅲ」では線形関係の簡潔な表現法である行列について講義したが、本科目では一次式を表に出さずに線形関係を抽象的に調べるための方法としてベクトル空間と線形写像の基礎事項を講義する。さらに行列の対角化を取り扱うが、これは線形変換の構造を明らかにするもので理論的にも応用的にも重要なテーマである。

学生諸君にとっては比較的馴染みの少ない概念が多く、理論が抽象的であったり、あるいは理論の展開の仕方に慣れない点があるかもしれない。しかし、線形代数学は微積分学とともに理工系の諸専門分野の不可欠な基盤をなすので、この科目内容を完全に修得するために費やす労力は、高回生での専門科目での勉学が劇的に効率的になることにより報われるであろう。

受講生の到達目標

以下の事項を抽象的に理解できること。および、これらの事項を、数ベクトル空間の部分空間については春学期に「数学Ⅲ」で学んだ行列の諸事項と関連づけられること。

(1) 基礎概念: 線形空間・部分空間・一次独立性・一次従属性。

(2) 線形空間の基底・次元: 基底による座標の導入、基底変換と座標変換の関係。数ベクトル空間の部分空間の基底を具体的に求められること。

(3) 線形写像: 線形写像の表現行列、基底変換が表現行列に与える影響。階数・核・像、次元定理。

(4) 固有値問題: 線形変換の固有多項式・固有値・固有ベクトル。表現行列が対角行列にできることと固有ベクトルから成る基底が存在することは同じであること。対角化可能性の判定条件。正方行列の対角化の手順。

(5) 内積空間: 内積・正定値性・シュワルツの不等式・正規直交基底・シュミットの直交化法・直交行列・直交変換。直交行列による対称行列の対角化。二次形式への応用。

事前に履修しておくことが望まれる科目

◯本科目では，春学期の「数学Ⅲ」で学ぶ内容を前提としている。

◯本科目の演習を行う「数学演習Ⅱ」の受講を強く推奨する。「数学演習Ⅱ」の授業は、本科目と「数学Ⅱ」の受講を前提として行われるので、秋学期は本科目と「数学Ⅱ」・「数学演習Ⅱ」を同時に受講することが望ましい。

授業スケジュール

授業回数/
担当教員（複数担当の場合） 		テーマ
キーワード・文献・補足事項等
第1回

ベクトル空間(その1)

【キーワード】ベクトル空間の定義，部分空間

第2回

ベクトル空間(その2)

【キーワード】１次独立，１次従属

第3回

ベクトル空間(その3)

【キーワード】１次独立な最大個数

第4回

ベクトル空間(その4)

【キーワード】基，次元

第5回

ベクトル空間(その5)

【キーワード】基本解，解空間の次元

第6回

線形写像(その1)

【キーワード】線形写像の定義，線形写像の階数

第7回

線形写像(その2)

【キーワード】線形写像の表現行列

第8回

線形写像(その3)

【キーワード】線形変換

第9回

線形写像(その4)

【 キーワード】固有値，固有ベクトル

第10回

線形写像(その5)

【キーワード】行列の対角化

第11回

内積空間(その1)

【キーワード】内積の定義, シュワルツの不等式

第12回

内積空間(その2)

【キーワード】正規直交基，シュミットの直交化

第13回

内積空間(その3)

【キーワード】直交行列による行列の三角化

第14回

内積空間(その4)

【キーワード】直交行列による対称行列の対角化

第15回

応用と展望

【キーワード】二次形式の対角化、二次曲面の分類、関数空間

授業実施形態

全１５回中８回の授業を「対面授業」で実施します。
７回はOneDrive上のビデオを利用した「オンデマンド授業」とします。
対面授業の場合もオンデマンド授業の場合も、各回数問の問題練習による
課題を課して，manaba+R上に提出して頂く形となります．

教室以外ではmanaba+R上での質疑応答も可能です．

対面授業とオンデマンド授業の日は以下の通りで
１回おきとなりますが，変更する場合もあります．
変更する場合には，manaba+R上に提示します．

９月　　　　３０日　　対面
１０月　　　７日　　オンデマンド
１０月　　　１４日　　対面
１０月 　　　２１日　　オンデマンド
１０月　　　２８日　　　対面
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１１月　　　４日　　オンデマンド
１１月　　　１１日　　対面
１１月 　　　１８日　　オンデマンド
１１月　　　２５日　　　対面
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋」
１２月　　　２日　　オンデマンド
１２月　　　９日　　対面
１２月 　　　１６日　　オンデマンド
１２月　　　２３日　　　対面
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１月　　　６日　　オンデマンド
１月　　　２０日（月）　　対面

授業外学習の指示

教科書とともに、manaba+にアップロードされている資料も
参考にして理解した上で，講義に臨んでください．

授業中には、理論の概要と易しい練習問題を扱います。
練習問題を解くのは復習の時間でも構いませんが、
予習でレジメを目を通しておくのは重要です。
復習では、授業で学習した内容をさらに深めるために、
練習問題に重点を置いてください。

成績評価方法

種別 割合(%) 評価基準等
定期試験（筆記） 80

講義の内容について試験する。
レポート試験
（統一締切日を締切とするレポート）

上記以外の試験・レポート、平常点評価
（日常的な授業における取組状況の評価）		 20

日常的な課題などにおける取り組み状況を評価する。
状況が許せば、講義内容についての授業内テスト等を実施して評価に反映させる場合がある。

成績評価方法(備考)

受講および研究に関するアドバイス

毎回の授業内容の復習を心がけてください。

各授業ごとに、授業内容を復習するための「問題」をmanaba+Rにて提示します。授業後各自でこれに取り組み、学習内容を確実なものにしてください。復習項目としては、
授業内で説明された定義や記号の確認、
定理や公式などの使い方、
授業内の“具体例”を参考にした計算方法の習得、
があります。とくに、“具体例”は扱っている内容に直接触れる良い機会なので、「問題」に取り組む前にしっかりと学び取ってください。

復習を終える際に、（その回の）授業がどんな話だったのかを「あらすじ」で整理することをおすすめします。
何を話題に（または問題に）しているのか？
それを扱うための言葉（定義、記号）や道具（定理、公式）は何か？
具体的にはどのように計算処理されるのか？あるいはどんな計算が必要になるのか？
どのような結果が得られるのか？
などを思い描いてください。その過程で何か不透明な個所があれば、もう一度教材やノートを見直してください。この、大雑把な見通しと細かな視点を行き来する、反復思考は、時間もかかるところですが、授業外学習にとってとても大切です。復習の習慣にしてみてください。

教科書

書名 著者 出版社 ISBNコード 備考
『入門線形代数 』 三宅敏恒 培風館 4-563-00216-X

教科書(使用頻度、その他補足)

参考書

参考書(使用頻度、その他補足)

参考になるwwwページ

授業内外における学生・教員間のコミュニケーションの方法

manaba+R,学生との直接対話

備考

担当者のアドレス

     yoshiki@pl.ritsumei.ac.jp
【科目ナンバリング・カリキュラムマップはこちらから/Click here to see the Curriculum-Map and Course-Numbering】
URL:https://secure.ritsumei.ac.jp/students/pathways-future/course/curriculum.html/